Introduzione Quaderno 8
Lezioni sulle singolarità delle curve e superficie algebriche
1896-1897
Introduzione a cura di Paola Gario
Il corso del 1896-97 è l'ideale prosecuzione di quello che Segre tenne nel 1894-95 (Quaderno 6) che, contrariamente alle intenzioni iniziali, fu quasi esclusivamente dedicato alla teoria delle singolarità delle curve algebriche piane. Come abbiamo avuto occasione di spiegare nella presentazione del quaderno di quel corso, Segre dovette dapprima esaminare a fondo le tecniche di analisi e di risoluzione delle singolarità che erano state elaborate per le curve piane. Ma questa non fu la sola ragione che lo indusse a rinviare ad altro corso lo studio approfondito delle singolarità delle superfici. Quando Segre esaminò la letteratura esistente sull'argomento, si accorse che vi erano numerose e profonde lacune. I pochi studi noti erano delle generalizzazioni molto superficiali dei metodi che erano stati introdotti con profitto per le curve algebriche piane. Analogamente al caso delle curve, anche per le superfici erano stati enunciati due teoremi di risoluzione delle singolarità, l'uno che utilizza le trasformazioni cremoniane spaziali, l'altro le trasformazioni birazionali della superficie. Il secondo teorema fu enunciato esplicitamente da Max Nöther in un articolo del 1888 e pochi mesi dopo Pasquale del Pezzo ne presentò una prima dimostrazione nell'articolo, Estensione di un teorema di Noether (Rend. Circolo Mat. Palermo, 3, 1888, pp. 139-144).È proprio a proposito di questo articolo che nell'ottobre del 1894 Segre scriveva a Castelnuovo: "L'ho riesaminato ed ho visto che non c'è da cavarne niente (del resto non rinunzio a pensare alla questione. Pensaci anche tu!)" (GARIO P., Singolarità e Geometria sopra una Superficie nella Corrispondenza di C. Segre a G. Castelnuovo, Archive Hist. Exact Sci., 43, 1991, p. 164). D'altra parte anche i contributi di Nöther si limitavano alla trattazione di qualche caso particolare. Le ricerche di Segre saranno da questo momento dedicate allo studio delle singolarità delle superfici algebriche e al loro scioglimento. La dimostrazione del teorema di risoluzione mediante trasformazioni birazionali della superficie gli era stata fra l'altro sollecitata da Castelnuovo e da Enriques perchè quel teorema era posto a fondamento della teoria delle superfici algebriche che proprio in quegli anni avevano iniziato a edificare.
"Nella mia nota vi sarà anche, esplicito il teorema che una superficie si può riferire a una iperspaziale senza punti multipli. Ti prego di avvertirne l'Enriques. In queste settimane ho introdotta qualche miglioria per eliminare nuove difficoltà che mi si eran presentate. Ma è questione, credo, di una settimana, o due, o tre..." (GARIO 1991, cit., p.167).Ma l'ottimismo che Segre manifesta in questa lettera indirizzata a Castenuovo nel febbraio del 1895 dovrà ancora una volta cedere il passo alle gravi difficoltà che non sembravano esaurirsi. Segre continuò a lavorare al problema per tutto il 1895 e il 1896, ottenendo risultati importanti, ma senza tuttavia riuscire a completare la dimostrazione del teorema di risoluzione. Nell'autunno del 1896 si convinse a pubblicare comunque i risultati ottenuti:
"il piano del lavoro è ora completamente diverso dall'antico: ed il problema che a te interessa non occupa il posto principale. Credo di averlo portato assai vicino alla soluzione, sebbene qualche lacuna vi sia ancora: ma ho dovuto decidermi a pubblicare senz'altro se no era di nuovo un anno almeno di ritardo!" (GARIO 1991, cit., p. 171).Alla fine dell'anno Segre diede alle stampe la memoria Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche (Segre 1897a), fondamentale lavoro sulla teoria delle singolarità delle superfici. La nozione di punti multipli infinitamente vicini e di scomposizione di un punto singolare di una superficie algebrica che ne deriva trova una completa e rigorosa trattazione e viene così esteso alle superfici il metodo di analisi che Nöther aveva elaborato per le singolarità delle curve algebriche piane. Per quanto riguarda invece il problema della risoluzione delle singolarità, Segre fornisce un attento esame critico dei pochi contributi allora noti, tra i quali i più interessanti e articolati erano quelli di del Pezzo, e abbozza delle possibili soluzioni del problema. Fra l'altro, le osservazioni di Segre saranno poco gradite a del Pezzo che risponderà a sua volta con la pubblicazione di una nota critica, dando così l'avvio ad una polemica che raggiunse toni aspri e di cui è rimasta testimonianza in alcuni scritti pubblicati (GARIO P., Resolution of Singularities of Surfaces by P. del Pezzo. A Mathematical Controversy with C. Segre, Archive Hist. Exact Sci., 40, 1989, pp. 247-274).
Il quaderno del corso del 1896-97 ripercorre in modo più succinto, rispetto a quello del 1894-95 (Quaderno 6), la teoria delle curve e affronta invece in modo più dettagliato alcune questioni riguardanti le superfici algebriche che Segre ritiene essenziali per lo sviluppo della teoria delle loro singolarità. In particolare sono trattati in qualche dettaglio i problemi di "intersezioni di superficie"(p. 21), la "teoria della polarità"(p. 26) e le sue applicazioni allo studio delle "linee multiple"(p. 34) di una superficie algebrica. Solo a pagina 88 inizia lo "studio delle singolarità mediante trasformazioni birazionali e sviluppi in serie" e il caso delle curve piane occupa gran parte del resto del quaderno che termina con lo studio dei "rami di curve algebriche sghembe" (p. 113), per il quale il riferimento più importante erano le ricerche di Georges Halphen. Ed è proprio su questo argomento che il quaderno si interrompe (p.117):
"analogamente a quanto s'è fatto a pag. 92 e seg. si possono applicare le trasformazioni quadratiche dello spazio a sciogliere le singolarità delle curve sghembe e delle superficie. Per le curve sghembe si ottengono, infinitamente vicini ad un punto s-plo punti multipli secondo s'i, s"ik ... Per le superficie qualcosa di simile".E quindi Segre rimanda alla memoria appena pubblicata (Segre 1897a).